Bab 1 | Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers 79

Text Box: Kementerian Pendidikan, Kebudayaan, Riset, dan Teknologi Republik Indonesia, 2021
Matematika untuk SMA/SMK Kelas XI
Penulis: Dicky Susanto, dkk. ISBN: 978-602-244-789-5 (jil.2)

Statistika

Gambar 3.1 Pemadaman Kebakaran Hutan di Pekanbaru

Sumber: liputan6.com (2019)

Kebakaran hutan merupakan hal yang cukup sering terjadi di Indonesia. Ketika kebakaran hutan terjadi, apakah dampaknya bagi kita semua? Tentu saja kebakaran hutan ini akan meningkatkan polusi udara. Namun, dari berbagai dampak yang ada, mungkin akan ada orang yang berpendapat bahwa kebakaran hutan dapat mengakibatkan penghasilan warga setempat menurun, peningkatan jumlah orang-orang yang

mengalami infeksi saluran pernapasan akut atau berhubungan dengan pemanasan global dan perubahan iklim. Bagaimana kita dapat memastikan bahwa hal tersebut benar atau tidak?

RIBE 2,5M

Gambar 3.2 Ilustrasi Banyak Subscribers di YouTube

Pada zaman sekarang, media sosial merupakan konsumsi masyarakat umum dalam kehidupan sehari-hari, salah satunya adalah YouTube. Setiap YouTuber pasti selalu menginginkan subscribers yang banyak sehingga menjadi pemacu untuk membuat konten yang menarik. Namun, tahukah kalian bagaimana caranya dan apa saja usaha yang mereka lakukan untuk mencapai hal tersebut? Salah satu usaha yang mereka lakukan adalah menyediakan waktu yang didedikasikan untuk berbagai

80 Matematika untuk SMA/SMK Kelas XI

persiapan pembuatan konten, video, dan lain sebagainya. Hal yang dipertanyakan adalah apakah ada hubungan antara waktu yang didedikasikan oleh para YouTuber dan banyak subscribers? Apakah banyaknya subscribers bergantung pada waktu yang didedikasikan? Jika ya, berapa peningkatan subscribers ketika waktu yang didedikasikan ditambah 1 jam per hari?

Adakah hal-hal lain yang selama ini terpikirkan oleh kalian bahwa dua hal saling mempunyai hubungan seperti contoh di atas? Misalnya, waktu yang digunakan untuk belajar dan tingkat kompetensi yang tercapai, hubungan antara berat badan dan tinggi badan yang ideal, dan lain-lain. Ketika menghadapi permasalahan seperti itu, apakah kesimpulan yang kalian ambil hanya melalui logika atau pengalaman semata, atau melalui pengolahan data yang tepat?

Untuk menjawab pertanyaan di atas, kalian perlu mempelajari jenis data yang menyajikan dua variabel kuantitatif dan proses analisis yang akan membantu kalian untuk mengambil kesimpulan yang tepat dari contoh-contoh permasalahan di atas dan juga mempersiapkan kalian untuk menyelesaikan permasalahan baru yang akan kalian temukan dalam kehidupan sehari-hari.

Pertanyaan Pemantik

• Bagaimana kita dapat menganalisis hubungan antara dua variabel kuantitatif?

• Apa peran ukuran pemusatan data dan ukuran penyebaran data dalam proses analisis hubungan antara dua variabel kuantitatif?

• Apakah ada suatu standar supaya kita dapat menyimpulkan dengan tepat bahwa dua variabel kuantitatif mempunyai hubungan atau tidak?

• Apakah semua kumpulan data dapat dimodelkan dengan garis lurus?

• Bagaimana pola suatu kumpulan data yang dapat dimodelkan dengan garis lurus?

• Bagaimana kita bisa tahu bahwa model garis lurus yang kita buat sudah tepat?

Kata Kunci

Data Bivariat, Diagram Pencar/Scatter, Tren, Regresi Linear, Garis Best-fit, Regresi Non-linear, Metode Kuadrat Terkecil, Residu, Interpolasi, Ekstrapolasi, Korelasi, Sebab-Akibat, Koefisien Korelasi, Korelasi Product Moment, Koefisien Determinasi

Bab 3 | Statistika 81

Peta Konsep

1. Tuliskan pasangan titik-titik koordinat yang terletak pada bidang kartesian di samping.

A (… , …)

B (… , …)

C (… , …)

D (… , …)

E (… , …)

F (… , …)

G (… , …)

H (… , …)

82 Matematika untuk SMA/SMK Kelas XI

2. Tentukan nilai-nilai berikut ini berdasarkan garis lurus pada diagram disamping.

a. Nilai y pada saat nilai = 0

b. Nilai y pada saat nilai = 2

c. Nilai pada saat nilai y = 5

d. Nilai pada saat nilai y = -1

3. Rangga ingin berlangganan internet dari penyedia jasa internet Lancar Jaya untuk pembelajaran jarak jauh. Biaya pemasangan layanan internet adalah Rp500.000,00 yang hanya dibayarkan sekali selama berlangganan dan biaya langganan bulanan yang sudah termasuk pajak adalah Rp250.000,00.

a. Tentukan berapa biaya total yang perlu dibayarkan oleh Rangga pada bulan pertama.

b. Tentukan berapa biaya total yang perlu dibayarkan oleh Rangga jika berlangganan hingga bulan ke-12.

c. Rangga ingin membuat suatu persamaan matematika yang dapat membantunya menghitung biaya total dengan cepat di mana menyatakan banyaknya bulan berlangganan dan y menyatakan biaya total langganan. Bagaimana persamaan matematika yang tepat?

d. Tentukan berapa biaya total yang perlu dibayarkan oleh Rangga jika berlangganan hingga bulan ke-24 menggunakan persamaan yang diperoleh di bagian c.

e. Beberapa bulan kemudian, Rangga menghitung bahwa dia sudah mengeluarkan total uang sebesar Rp2.000.000,00 untuk berlangganan internet. Sudah berapa bulan lamanya Rangga berlangganan internet?

Bab 3 | Statistika 83

4. Terdapat sebuah ember yang bocor dan volume air di dalamnya dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan garis lurus y = 1 – 0.02x di mana menyatakan waktu (menit) dan y menyatakan volume air (liter) yang tersisa dalam ember.

a. Jelaskan makna dari 1 dari persamaan y = 1 – 0.02x

b. Jelaskan makna dari – 0.02x dari persamaan y = 1 – 0.02x

c. Berapa liter volume air di dalam ember setelah 5 menit?

d. Berapa lama volume air di dalam ember tersebut akan habis?

5. Hitunglah rata-rata dan varians dari data-data berikut. 8 7 10 12 9 4 6

A. Diagram Pencar atau Diagram Scatter

Ayo kita gunakan konteks mengenai hubungan antara rata-rata waktu yang didedikasikan oleh YouTuber dan banyak subscribers yang mereka miliki.

Dalam suatu penelitian sederhana, terpilih sampel tujuh YouTuber dan diperoleh informasi mengenai rata-rata waktu yang didedikasikan per hari dan banyak subscribers mereka pada saat itu (dibulatkan ke ratusan ribu). Informasi yang diperoleh adalah sebagai berikut.

Tabel 3.1 Data Rata-rata Waktu dan Banyak Subscribers

Rata-rata waktu per hari	Banyak subscribers
5,5 jam	1.400.000 orang
8,3 jam	2.400.000 orang
3,8 jam	1.300.000 orang
6,1 jam	1.600.000 orang
3,3 jam	900.000 orang
4,9 jam	1.500.000 orang
6,7 jam	1.700.000 orang

Peneliti ingin mengetahui apakah ada hubungan antara rata-rata waktu yang didedikasikan per hari dan banyak subscribers dari data yang diperoleh di atas. Apa saja yang harus dilakukan oleh peneliti dalam mengolah data yang telah diperoleh?

84 Matematika untuk SMA/SMK Kelas XI

Apakah ilmu statistika yang telah kalian pelajari sejauh ini cukup untuk memperoleh tujuan analisis dari peneliti tersebut? Coba diskusikan dengan teman-teman kalian.

1. Kita akan menyajikan data dari Tabel 3.1 ke dalam bentuk diagram pencar atau diagram scatter. Ayo letakkan pasangan-pasangan data rata-rata waktu dan banyak subscribers dalam bentuk pasangan titik koordinat (rata-rata waktu, banyak subscribers) dalam diagram di bawah ini.

2. Bagaimana pola penyebaran titik-titik yang telah digambar pada diagram di atas?

3. Kesimpulan seperti apa yang dapat kalian ambil mengenai hubungan antara rata-rata waktu yang didedikasikan dan banyak subscribers berdasarkan pola penyebaran titik-titik pada nomor 2?

4. Data mana yang tidak konsisten dengan kesimpulan kalian pada nomor 3?

5. Apakah data tersebut akan membuat kesimpulan kalian pada nomor 3 menjadi tidak tepat?

Bab 3 | Statistika 85

Pada Eksplorasi 3.1, kalian telah menggunakan diagram pencar atau diagram scatter. Diagram pencar atau diagram scatter digunakan saat kalian perlu menyajikan data yang terdiri atas dua variabel kuantitatif atau sering juga disebut sebagai data bivariat.

Pada contoh permasalahan di atas, rata-rata waktu disebut sebagai variabel independen. Variabel independen adalah variabel yang akan digunakan untuk membuat prediksi terhadap nilai variabel dependen. Variabel independen digambarkan pada bagian sumbu X di diagram pencar, sedangkan banyak subscribers disebut sebagai variabel dependen. Variabel dependen adalah variabel yang nilainya dipengaruhi oleh variabel independen. Variabel dependen digambarkan pada sumbu Y di diagram pencar.

Gambar 3.3 Contoh Kesimpulan yang Salah Akibat Variabel X dan Y yang Tertukar

Sumber: https://xkcd.com

Hal lain yang perlu dibedakan adalah konsep korelasi dan sebab-akibat. Dua variabel dikatakan mempunyai hubungan sebab-akibat jika perubahan pada salah satu variabel mengakibatkan perubahan pada variabel lainnya. Hanya karena dua variabel memiliki korelasi, tidak berarti selalu ada hubungan sebab-akibat pada keduanya, karena korelasi hanya melihat pada polanya. Mari kita lihat kembali permasalahan mengenai rata-rata waktu dan banyak subscribers. Hasil Eksplorasi 3.1 menyatakan bahwa ada korelasi antara kedua variabel tersebut, namun bukan berarti dapat ditarik kesimpulan bahwa ada hubungan sebab-akibat. Masih banyak variabel

86 Matematika untuk SMA/SMK Kelas XI

lain yang perlu dipertimbangkan untuk menarik kesimpulan sebab-akibat, misalnya sudah berapa lama menjadi YouTuber, tingkat efektivitas kerja, dan lainnya. Hal ini memerlukan studi yang lebih mendalam dan kompleks.

1. Perhatikan pasangan-pasangan variabel di bawah ini. Tentukan bagaimana hubungan mereka dan berikan alasan kalian.

a. Banyak kendaraan bermotor dan tingkat polusi udara.

b. Jarak yang ditempuh oleh sebuah motor dan volume bensin dalam tangki bensin.

c. Biaya listrik dan biaya air per bulan.

2. Rizki ingin mengetahui hubungan tingkat kelulusan SMA dan tingkat kemiskinan. Data yang diperoleh oleh Rizki disajikan dalam bentuk diagram pencar berikut.

Bab 3 | Statistika 87

a. Bagaimana pola penyebaran titik-titik yang telah digambar pada diagram di atas?

b. Kesimpulan seperti apa yang dapat kalian ambil mengenai hubungan persentase kelulusan SMA dan persentase kemiskinan?

3. Tabel berikut ini memberikan informasi mengenai kandungan gula (gram) dan jumlah kalori dalam satu sajian dari 13 sampel merek sereal.

Gula (gram)	4	15	12	11	8	6	14	2	7	14	20	3	13
Kalori	120	200	140	110	120	80	170	100	130	190	190	110	120

a. Gambarkan diagram pencar atau diagram scatter dari data di atas.

b. Bagaimana pola penyebaran titik-titik yang telah digambar pada diagram di atas?

c. Kesimpulan seperti apa yang dapat kalian ambil mengenai hubungan antara gula (gram) dan jumlah kalori?

4.

Suatu hari saat pelajaran Statistika, guru menyajikan data mengenai hubungan antara dua variabel dari tinggi badan anak usia dini umur 2 hingga 7 tahun dalam bentuk tabel berikut ini.

88 Matematika untuk SMA/SMK Kelas XI

Umur	Tinggi Rata-rata (cm)
2	91
3	99
4	104
5	112
6	119
7	126

Salah satu siswa, Kefas, menyimpulkan bahwa semakin bertambahnya umur, semakin bertambah juga tinggi badan. Namun, tidak tepat jika disimpulkan bahwa umur menyebabkan tinggi badan meskipun memang ada yang mendasari hubungan sebab-akibat antara keduanya.

a. Menurut kalian, apa yang menjadi dasar sebab-akibat antara umur dan tinggi badan berdasarkan konteks data di atas?

b. Apakah kesimpulan Kefas berlaku untuk sepanjang umur manusia hidup? Jelaskan alasan kalian.

c. Jika kalian diminta untuk mengambil kesimpulan secara umum mengenai hubungan umur dan tinggi badan, apa yang perlu kalian lakukan?

Di dalam sebuah kesimpulan hasil analisis, apakah cukup hanya dengan mengatakan bahwa dua variabel memiliki korelasi? Ternyata ada jenis-jenis korelasi berdasarkan arah dan bentuk tren datanya untuk membedakan satu dengan yang lainnya. Dalam permasalahan rata-rata waktu dan banyak subscribers, diperoleh bahwa mereka mempunyai korelasi positif yang artinya adalah semakin meningkat rata-rata waktu maka semakin meningkat juga banyak subscribers, dan bentuk tren data mereka adalah linear karena pola tren data yang menyerupai garis lurus. Kita akan mempelajari lebih banyak lagi melalui eksplorasi berikut ini.

Bab 3 | Statistika 89

Perhatikan diagram berbagai jenis korelasi berikut ini.

y y y

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

Gambar 3.4 Diagram Pencar dan Jenis Korelasi

1. Ayo pasangkan (a), (b), (c), (d), dan (e) dengan pilihan kategori A, B, C, D atau E yang tepat sesuai deskripsi pada tabel di bawah ini. Pilihan kategori boleh untuk lebih dari satu diagram. Diskusikan dengan teman-teman kalian.

	Jenis korelasi berdasarkan arah tren data	Bentuk tren data	Interpretasi data
A	Korelasi positif	Linear	Semakin meningkat nilai variabel x, semakin meningkat nilai variabel y
B	Korelasi negatif	Linear	Semakin meningkat nilai variabel x, semakin menurun nilai variabel y
C	Tidak berkorelasi	Tidak berbentuk	Nilai variabel x tidak memengaruhi nilai variabel y

90 Matematika untuk SMA/SMK Kelas XI

	Jenis korelasi berdasarkan arah tren data	Bentuk tren data	Interpretasi data
D	Korelasi positif	Kurva/Non- linear	Semakin meningkat nilai variabel x, semakin meningkat nilai variabel y
E	Korelasi negatif	Kurva/Non- linear	Semakin meningkat nilai variabel x, semakin menurun nilai variabel y

2. Jika ada kategori yang tidak dapat dipasangkan dengan diagram-diagram di atas, gambarlah sketsa diagram pencar yang menggambarkan kategori tersebut.

Berdasarkan hasil Eksplorasi 3.2, kalian telah mempelajari jenis korelasi berdasarkan arah tren data (korelasi positif, korelasi negatif, dan tidak berkorelasi), bentuk tren data (linear dan kurva/non-linear) serta interpretasi masing-masing datanya. Kalian akan mempelajari lebih jauh lagi mengenai hal ini pada subbab berikutnya tentang bagaimana proses analisis korelasi untuk tren data berbentuk linear. Pada jenjang ini, kalian tidak akan mempelajari mengenai proses analisis korelasi untuk tren data berbentuk kurva/non-linear.

Ayo latihan untuk memantapkan keterampilan dalam membaca diagram pencar dan interpretasi datanya.

Bab 3 | Statistika 91

Pada masing-masing diagram pencar di bawah ini, berikan keterangan (i) jenis korelasinya berdasarkan arah tren data, (ii) bentuk tren datanya dan (iii) interpretasi datanya.

a. 24

y 18

b. 24

y 18

12 14 16 18 20 22 24

0 2 4 6 8 10 12

c. 27,5 d. 25

22,5

y y

17,5

12,5

e. 200

150

y 100

12 16 20 24 28

x

12 16 20 24 28

x

f. 150

100

y 50

-50

12 16 20 24 28

12 16 20 24 28

92 Matematika untuk SMA/SMK Kelas XI

g. 200

150

100

h. 200

150

y 100

-50 0

12 16 20 24 28

Tahapan menggambar diagram pencar menggunakan Microsoft Excel:

1. Buka aplikasi Microsoft Excel dan buat lembar kerja baru.

2. Masukkan data bivariat yang akan dibuat diagram pencarnya.

Bab 3 | Statistika 93

Pilihlah semua datanya, kemudian pilih menu Insert dan pilih Scatter Plot yang posisinya ditunjukkan oleh gambar di bawah (posisi kemungkinan akan berbeda tergantung dari versi Microsoft Excel yang digunakan) maka secara otomatis diagram pencar akan dibuat namun masih perlu penyesuaian penamaan variabel x dan y.

Klik diagram kemudian klik tanda “+” yang ada di kanan atas diagram dan pastikan “Axis Titles” dicentang maka akan terlihat bagian untuk penamaan untuk sumbu x dan y.

5. Ubahlah penamaan sumbu x dan y, dan judul diagram pencar dengan cara klik pada bagian masing-masing dan ketik penamaan yang baru.

94 Matematika untuk SMA/SMK Kelas XI

Mudah, bukan? Ayo berlatih menggunakan aplikasi ini agar kalian tidak lupa tahapannya. Kalian juga dapat menggunakan aplikasi ini untuk memastikan bahwa gambar diagram pencar yang kalian buat dengan gambar tangan sudah tepat atau belum.

B. Regresi Linear

1. Pengertian

Ketika dua variabel kuantitatif pada suatu diagram pencar sudah menunjukkan adanya korelasi, kita dapat menggambar suatu garis yang paling tepat untuk mewakili semua data yang ada.

Bab 3 | Statistika 95

20 40 60 80 100

Gambar 3.5 Diagram Pencar dan Berbagai Kemungkinan Garis Lurus

Di antara semua garis yang mungkin dibentuk, hanya ada satu garis yang paling tepat yang disebut sebagai garis best-fit. Garis ini merupakan model linear yang memperkirakan hubungan antara dua variabel kuantitatif pada diagram pencar tersebut. Model regresi yang memberikan hubungan garis lurus antara dua variabel ini disebut regresi linear.

Gambar 3.6 Contoh Regresi Linear

96 Matematika untuk SMA/SMK Kelas XI

Gambar 3.6 memberikan contoh bagaimana suatu garis best-fit digambar di antara titik-titik pada diagram pencar. Garis ini tidak harus melalui titik-titik tersebut karena hanya bersifat estimasi. Namun, bisa saja garis melewati satu titik atau lebih pada saat penggambaran. Tapi satu hal yang pasti adalah garis tersebut selalu melewati pasangan titik koordinat rata-rata nilai x dan y, (x, y).

12,5

10,0

7,5

5,5

		y1 dan	x1

5,0 7,5 10,0 12,5 15,0

		y3 dan	x3

5,0 7,5 10,0 12,5 15,0

12,5

10,0

7,5

5,0

		y2 da	n x2

5,0 7,5 10,0 12,5 15,0

	y4 dan	x4

10 15 20

Gambar 3.7 Tren Data pada Diagram Pencar

2. Metode Kuadrat Terkecil

Di dalam proses analisis regresi linear, kita mencoba untuk mencari garis lurus yang paling tepat terhadap titik-titik yang ada pada diagram pencar. Garis lurus itu akan memberikan deskripsi terbaik mengenai hubungan antara variabel independen dan dependen. Ayo lakukan Eksplorasi 3.3 sebagai dasar berpikir mengenai metode ini.

Bab 3 | Statistika 97

Suatu sekolah menerapkan program rajin menabung pada seluruh siswanya. Mona tertarik untuk melihat bagaimana hubungan antara uang jajan yang diperoleh teman- temannya dan besar uang yang ditabung. Dia memilih satu kelas dan dari kelas tersebut diambil sampel delapan siswa untuk memperoleh data mengenai uang jajan yang diterima dan uang yang ditabung. Data yang diperoleh adalah sebagai berikut.

Uang jajan	Uang yang ditabung
Rp10.000,00	Rp2.000,00
Rp40.000,00	Rp11.000,00
Rp25.000,00	Rp8.000,00
Rp50.000,00	Rp14.000,00
Rp15.000,00	Rp5.000,00
Rp35.000,00	Rp10.000,00
Rp30.000,00	Rp7.000,00
Rp45.000,00	Rp15.000,00

1. Gambarlah diagram pencar dari data di atas.

2. Gambarlah prediksi garis best-fit dari hubungan antara uang jajan dan uang yang ditabung.

3. Jelaskan alasan mengapa kalian menggambar garis lurus seperti itu.

4. Bandingkan prediksi garis best-fit yang telah kalian buat dengan prediksi garis

best-fit yang digambar oleh teman-teman kalian serta bandingkan alasan kalian.

5. Tuliskan kesimpulan dari berbagai ide atau gagasan yang menurut kalian paling tepat untuk menggambar suatu garis best-fit.

Berdasarkan Eksplorasi 3.3, pasti banyak ide atau gagasan yang berbeda-beda mengenai cara menggambar garis lurus yang tepat. Namun pertanyaannya, apakah ada cara yang paling tepat dalam memutuskan apakah suatu garis sudah tepat atau

98 Matematika untuk SMA/SMK Kelas XI

tidak? Ternyata ada loh, metode umum untuk menempatkan garis lurus ke data-data hasil observasi disebut sebagai metode kuadrat terkecil.

Wow… nama metodenya seperti istilah operasi matematika sehari-hari yang sering kita dengarkan, ya. Sesuai dengan nama metode itu nanti kalian perlu melakukan operasi kuadrat dan tujuannya adalah untuk menemukan suatu nilai terkecil. Nilai apa yang perlu kita kecilkan hingga sekecil mungkin? Mari kita lihat gambar diagram berikut ini sebagai visualisasi sederhana dari metode ini.

20 40 60 80 100

Gambar 3.8 Garis Regresi dan Residu

Gambar 3.8 memberikan gambaran bahwa ada selisih antara nilai variabel dependen (y) dari data asli dengan nilai variabel dependen (yˆ yang dibaca y topi) dari garis regresi. Selisih antara nilai variabel dependen yang diamati (y) dan nilai variabel dependen yang diprediksi (yˆ) disebut sebagai residu ( yang dibaca epsilon). Maka dari itu, rumus residu ditulis sebagai berikut.

Residu (ε) = y − yˆ

Menurut kalian, jumlah nilai mutlak residu yang semakin kecil atau semakin besar yang akan membuat suatu model garis regresi semakin tepat? Ya, benar, semakin kecil jumlah nilai mutlak residu ini, maka garis semakin dekat ke data asli yang artinya semakin tepat pula garis yang digambar.

Bab 3 | Statistika 99

Meskipun demikian, perhitungan yang dilakukan ternyata tidak cukup hanya menggunakan konsep jumlah nilai mutlak residu, namun harus menggunakan konsep jumlah kuadrat dari nilai residu (rumus tertulis di bawah paragraf ini) seperti pada konsep perhitungan varians suatu data. Konsep jumlah kuadrat dari nilai residu dapat memberikan karakteristik khusus untuk membedakan setiap garis regresi yang mungkin terbentuk dari suatu kumpulan data yang tidak dapat diberikan oleh konsep jumlah nilai mutlak residu.

Kuadrat residu (ε²) = (y − yˆ)²

Jumlah kuadrat residu ( ε²) = (y − yˆ)²

Perlu diingat bahwa setiap kumpulan data mempunyai jumlah kuadrat residu terkecil yang dapat dicapai oleh model garisnya. Dasar inilah yang digunakan dalam penurunan rumus untuk mencari persamaan garis regresi. Akan tetapi, hal ini tidak memungkinkan untuk diajarkan saat ini karena memerlukan ilmu kalkulus lanjutan. Karena itulah buku ini akan berusaha menjelaskannya secara deskriptif. Namun bagi kalian yang tertarik dan ingin belajar lebih lanjut, kalian dapat menemukannya di berbagai buku matematika untuk tingkat universitas atau sumber yang tepat dan baik dari internet.

6. Dari garis best-fit yang telah kalian gambar, carilah persamaan garisnya dengan mencari gradien terlebih dahulu dan titik potong sumbu y kemudian lakukan substitusi ke dalam persamaan garis lurus yˆ = mx + c di mana m adalah gradien dan c adalah titik potong sumbu y.

7. Gunakan hasil nomor 6 untuk mencari yˆ dan lengkapilah tabel berikut ini untuk menghitung jumlah kuadrat residu.

	y	yˆ	y − yˆ	(y − yˆ)²
10.000	2.000
40.000	11.000
25.000	8.000

100 Matematika untuk SMA/SMK Kelas XI

	y	yˆ	y − yˆ	(y − yˆ)²
50.000	14.000
15.000	5.000
35.000	10.000
30.000	7.000
45.000	15.000
Jumlah kuadrat residu

8. Bandingkan hasil jumlah kuadrat residu kalian dengan teman-teman kalian. Prediksi garis best-fit yang mempunyai jumlah kuadrat residu terkecil adalah prediksi garis best-fit yang lebih tepat.

1. Tabel berikut menunjukkan banyak tempat duduk terhadap biaya per jam dari tiga model pesawat terbang yang digunakan oleh maskapai Garuda Indonesia.

Model Pesawat	Banyak tempat duduk	Biaya (rupiah/jam)
A	50	1.100.000,00
B	100	2.100.000,00
C	150	2.700.000,00

Persamaan garis regresi mana yang lebih tepat untuk memprediksi banyak tempat duduk terhadap biaya?

yˆ = 367000 + 16000x atau yˆ = 300000 + 16000x

2. Seorang siswa menyelidiki hubungan antara harga (y rupiah) dari 100 gram cokelat dan persentase kandungan cokelat (x %). Data yang diperoleh disajikan pada tabel berikut.

Bab 3 | Statistika

101

Merek Cokelat	x (% cokelat)	y (rupiah)
A	10	3.500,00
B	20	5.500,00
C	30	4.000,00
D	35	10.000,00
E	40	6.000,00
F	50	9.000,00
G	60	11.000,00
H	70	13.000,00

a. Gambarlah diagram pencar dari data tabel tersebut.

Jika diketahui bahwa persamaan garis regresinya adalah

yˆ = 1700 + 154x.

b. Gambarlah garis regresinya pada diagram pencar.

Siswa tersebut melihat bahwa ada satu merek cokelat yang harganya terlalu tinggi.

c. Merek cokelat mana yang dimaksud oleh siswa tersebut? Jelaskan alasannya.

d. Siswa tersebut ingin memberikan saran harga yang cocok untuk cokelat tersebut. Berapakah prediksi harga yang cocok?

Eksplorasi 3.3 telah memberikan gambaran umum mengenai garis regresi. Sekarang, mari kita melihat bagaimana pendekatan yang dilakukan untuk memperoleh persamaan garis regresi yang memenuhi syarat dari metode kuadrat terkecil supaya kalian dapat menentukannya sendiri. Sama halnya untuk mendapatkan persamaan garis lurus pada umumnya, persamaan garis regresi sering dituliskan dalam bentuk umum berikut ini.

yˆ = a + bx

Bentuk persamaan di atas dibaca sebagai regresi y atas x, di mana:

yˆ adalah nilai variabel dependen yang diprediksi

x adalah nilai variabel independen

a adalah titik potong sumbu y b adalah gradien garis regresi

102 Matematika untuk SMA/SMK Kelas XI

Maka dari itu, hal yang perlu dicari adalah nilai a dan b, dan kemudian nilai-nilai tersebut disubstitusikan ke dalam persamaan garis regresi di atas.

Nilai b dapat dihitung menggunakan konsep jumlah kuadrat variabel-variabelnya. Ada dua jenis jumlah kuadrat variabel yang akan digunakan dan disingkat menjadi SS yang merupakan singkatan dari “sum of squares” yang berarti jumlah kuadrat, yaitu:

1. Jumlah kuadrat selisih variabel independen x terhadap rata-ratanya dan variabel dependen y terhadap rata-ratanya.

SS_xy = (x − x) (y − y) atau SS_xy =

xy −

( x)( y) n

2. Jumlah kuadrat selisih variabel independen x terhadap rata-ratanya.

SS_xx = (x − x) (x − x) = (x − x)² atau

SS_xx =

x² −

(P x)²

n

Ingat, jika nilai SS_xy dan SS_xx berdiri sendiri masing-masing maka mereka tidak memiliki makna apa-apa. Mereka hanyalah perhitungan sementara yang digunakan untuk proses perhitungan berikutnya.

Nilai b dapat dihitung dengan menggunakan kedua jenis jumlah kuadrat di atas sehingga menjadi:

b = SS_xy

SS_xx

Tahap berikutnya kita perlu mencari nilai a. Untuk mencari ini, kita perlu mengetahui bahwa salah satu karakteristik garis regresi yang memenuhi syarat metode kuadrat terkecil adalah titik rata-ratanya (x, y) selalu dilalui garis regresi tersebut.

Oleh karena garis regresi linearnya adalah yˆ = a + bx dan titik (x, y) dilalui garis tersebut maka dapat disubstitusikan sehingga menjadi:

yˆ = a + bx

y = a + bx…… substitusi (x, y) a = y − bx

Sesuai dengan persamaan di atas, jadi untuk mencari nilai a kalian perlu mencari nilai x, nilai y dan nilai b terlebih dahulu.

Bab 3 | Statistika

103

Setelah memperoleh nilai a dan b, substitusikan nilai-nilai tersebut ke dalam persamaan yˆ = a + bx. Maka akhirnya kalian akan mendapatkan persamaan garis regresinya.

Ayo kita gunakan tahapan dan rumus di atas untuk menyelesaikan permasalahan pada eksplorasi berikut ini serta menggunakan garis regresi yang diperoleh untuk interpretasi dan analisis lanjutan.

Tabel berikut ini berisi informasi dari 12 siswa SMA mengenai rata-rata waktu yang digunakan per hari dalam menggunakan media sosial (Facebook, Twitter, dan lain- lain) dan internet untuk bersosialisasi dan hiburan, dan nilai mereka.

Waktu (jam per hari)	4,4	6,2	4,2	1,6	4,7	5,4	1,3	2,1	6,1	3,3	4,4	3,5
Nilai	81	55	78	92	68	55	90	82	67	72	68	84

1. Gambarlah diagram pencar dari data di atas.

2. Apakah diagram pencarnya memberikan indikasi bahwa ada hubungan linear antara rata-rata waktu untuk media sosial dan internet dengan nilai?

3. Tentukan persamaan garis regresinya. Ikutilah tahapan berikut ini.

a. Hitunglah nilai x dan y

b. Hitunglah nilai SSxy dan SSxx

c. Hitunglah nilai b, gradien garis regresi, menggunakan hasil dari a) dan b).

d. Hitunglah nilai a, titik potong sumbu y, menggunakan hasil dari a) dan c).

e. Tentukan persamaan garis regresinya dengan menggunakan hasil dari c) dan d).

4. Interpretasikan masing-masing arti nilai a dan b yang ditemukan pada nomor 3.

5. Hitunglah prediksi nilai siswa yang menggunakan rata-rata waktu 3,8 jam per hari untuk media sosial dan internet menggunakan persamaan garis regresi yang ditemukan pada nomor 3.

104 Matematika untuk SMA/SMK Kelas XI

6. Hitunglah prediksi nilai siswa yang menggunakan rata-rata waktu 16 jam per hari untuk media sosial dan internet menggunakan persamaan garis regresi yang ditemukan pada nomor 3. Berikan komentar mengenai hasil yang ditemukan.

Pada Eksplorasi 3.4 nomor 5 kalian telah melakukan suatu proses yang disebut interpolasi. Interpolasi adalah penggunaan hubungan antar variabel untuk memprediksi nilai yang berada di dalam jangkauan data. Sedangkan pada nomor 6 kalian telah melakukan suatu proses yang disebut ekstrapolasi. Ekstrapolasi adalah penggunaan hubungan antar variabel untuk memprediksi nilai yang berada di luar jangkauan data dengan asumsi bahwa hubungan ini berlaku meskipun di luar jangkauan data. Tentunya, hasil interpolasi lebih dapat dipercaya dibandingkan dengan ekstrapolasi.

1. Pada saat kondisi mendadak, para pengendara mobil memerlukan waktu yang berbeda-beda untuk dapat bereaksi untuk menginjak rem mobil. Jarak yang diperlukan hingga terjadi reaksi menginjak rem disebut sebagai jarak reaksi. Tabel berikut ini memberikan informasi mengenai jarak reaksi dari mobil yang melaju dengan kecepatan yang berbeda-beda.

Kecepatan (km/jam)	Jarak Reaksi (m)
20	4,1
30	6,2
40	8,3
50	10,1
60	12,4
70	14,5

Bab 3 | Statistika

105

a. Gambarlah diagram pencar dari data di atas.

b. Apakah diagram pencarnya memberikan indikasi bahwa ada hubungan linear antara kecepatan dengan jarak reaksi?

c. Tentukan persamaan garis regresinya.

d. Interpretasikan nilai a dan b yang diperoleh pada bagian c).

e. Hitunglah prediksi jarak reaksi jika suatu mobil bergerak dengan kecepatan 35 km/jam.

f. Hitunglah prediksi jarak reaksi jika suatu mobil bergerak dengan kecepatan 55 km/jam.

2. Tabel berikut ini adalah data mengenai rata-rata tinggi badan anak perempuan yang berumur dari 2–14 tahun.

Umur (tahun)	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
Rata-rata tinggi (cm)	89	98	105	112	118	123	131	136	143	151	155	160	161

a. Gambarlah diagram pencar dari data di atas.

b. Apakah diagram pencarnya memberikan indikasi bahwa ada hubungan linear antara umur dengan rata-rata tinggi badan?

c. Tentukan persamaan garis regresinya.

d. Interpretasikan nilai a dan b yang diperoleh pada bagian c).

e. Hitunglah prediksi tinggi badan anak perempuan yang berumur 5,8 tahun.

f. Hitunglah prediksi tinggi badan seorang perempuan yang sudah berumur 30 tahun.

g. Berikan komentar mengenai reliabilitas nilai perkiraan di bagian f).

106 Matematika untuk SMA/SMK Kelas XI

Kali ini kita akan menggunakan aplikasi yang sama untuk membantu menggambar garis regresi linear. Kalian juga bisa langsung tahu persamaan garis regresinya tanpa harus dihitung menggunakan rumus yang telah kalian pelajari sebelumnya. Sangat efisien, bukan? Yuk, perhatikan tahapan di bawah ini. Kita akan menggunakan data yang sama dengan latihan membuat diagram pencar sebelumnya.

Klik salah satu titik data pada diagram, kemudian klik kanan dan pilih “Add Trendline.”

Menampilkan garis regresi linear: Setelah tahapan no.1, akan ada tampilan menu tambahan di sebelah kanan dan pilihlah “Linear” pada Trendline Options.

Bab 3 | Statistika

107

Menampilkan persamaan garis regresi linear: pada menu yang sama di sebelah kanan, pada bagian bawahnya ada pilihan untuk menampilkan persamaan garis regresi, pastikan centang “Display Equation on chart” maka kalian dapat melihat bahwa persamaan garis regresi sudah ditampilkan pada diagram.

Mudah, bukan? Jika sudah terbiasa, maka tahapan ini hanya akan memerlukan waktu hitungan detik saja untuk menggambar garis regresi dan menemukan persamaan garis regresinya.

108 Matematika untuk SMA/SMK Kelas XI

C. Analisis Korelasi

1. Pengertian

Analisis korelasi merupakan salah satu metode statistika yang paling banyak digunakan di dalam berbagai penelitian ilmiah. Sejauh ini kalian sudah dapat menemukan persamaan garis regresi untuk data bivariat dan kalian juga sudah tahu bahwa garis regresi yang ditemukan dengan perhitungan rumus yang diberikan adalah garis yang sudah paling tepat mewakili data yang ada. Meskipun demikian, kita masih ada kendala untuk interpretasi lebih lanjut jika hanya menggunakan garis tersebut. Sebagai pemanasan, diskusikan dengan teman-teman kalian pertanyaan di bawah ini.

Bab 3 | Statistika

109

Kalian pasti menyadari bahwa untuk menyatakan tinggi atau pendek, kalian memerlukan suatu standar dan standar itu sangat bervariasi perbedaannya satu orang dengan yang lainnya. Ketika kita mengambil kesimpulan dari suatu data, tentunya kita perlu suatu standar yang pasti agar setiap orang tidak mengambil kesimpulan yang berbeda-beda. Oleh karena itu, suatu korelasi memiliki suatu standar nilai tingkat korelasi. Nilai ini merupakan ukuran deskriptif numerik dari korelasi yang disebut koefisien korelasi. Koefisien ini akan memberikan informasi arah tren data dan sekaligus tingkat korelasinya apakah kuat, sedang, atau lemah.

Selain dari analisis di atas, kita perlu mengetahui seberapa tepat suatu garis regresi terhadap data asli. Kalian sudah mempelajarinya, bukan? Ingatkah kalian mengenai jumlah kuadrat residu terkecil? Ternyata ada hal yang bisa lebih tepat untuk menentukan ketepatan suatu garis. Hal ini dapat dilihat dari berapa proporsi (persentase) dari variabel dependen yang diterangkan oleh variabel independen yang disebut sebagai koefisien determinasi.

Sekarang sudah tahu, kan, kenapa kita perlu mempelajari analisis korelasi lebih lanjut? Ayo kita pelajari satu per satu secara lebih mendalam mengenai koefisien korelasi dan koefisien determinasi dan apa hubungan antara keduanya.

2. Korelasi Product Moment

Pada bagian ini kalian akan diperkenalkan mengenai konsep koefisien korelasi. Koefisien korelasi yang akan kalian gunakan adalah Korelasi Product Moment. Terkadang nama penemunya juga dimasukkan ke dalam nama korelasi ini sehingga menjadi Korelasi Pearson Product Moment atau Koefisien Korelasi Pearson. Koefisien korelasi ini merupakan jenis koefisien korelasi yang paling umum digunakan.

110 Matematika untuk SMA/SMK Kelas XI

? Tahukah Kamu?

Karl Pearson (1895–1980) merupakan seseorang yang tertarik pada banyak cabang ilmu termasuk matematika, fisika, agama, sejarah, sosial, dan lainnya. Pearson dilahirkan dan besar di London. Karl Pearson banyak berkarya dalam ilmu statistika sehingga banyak ahli statistika yang mengaguminya. Selain berkontribusi dalam menemukan koefisien korelasi Pearson (r), ia juga yang memperkenalkan istilah standar deviasi atau simpangan baku ( ) yang pastinya sudah tidak asing lagi bagi kalian.

Gambar 3.9 Karl Pearson

Sumber: en.wikipedia.org/wiki (2021)

Ayo, kita melihat bagaimana cara kalian dapat menemukan nilai koefisien korelasi ini.

Konsep korelasi product moment ini tidak jauh dari konsep yang sering kita gunakan yaitu jumlah kuadrat. Terakhir, kalian telah mempelajari dua jenis jumlah kuadrat variabel yaitu SS_xy dan SS_xx dengan masing-masing artinya. Kali ini kita akan menggunakan tiga jenis jumlah kuadrat di mana terdapat tambahan satu lagi dari yang sebelumnya. Ketiga jenis tersebut yaitu:

1. Jumlah kuadrat selisih variabel independen x terhadap rata-ratanya dan variabel dependen y terhadap rata-ratanya.

SS_xy = (x − x) (y − y) atau SS_xy =

xy −

( x)( y) n

2. Jumlah kuadrat selisih variabel independen x terhadap rata-ratanya.

SS_xx = (x − x) (x − x) = (x − x)² atau

SS_xx =

x² −

( x)²

3. Jumlah kuadrat selisih variabel dependen y terhadap rata-ratanya.

SS_yy = (y − y) (y − y) = (y − y)² atau

SS_yy =

y² −

(P y)²

n

Bab 3 | Statistika

111

Untuk menghitung nilai Korelasi Product Moment (r), substitusikan nilai dari ketiga jenis jumlah kuadrat ke dalam rumus Korelasi Product Moment di bawah ini.

SS_xy

r = p

SS_xxSS_yy

Nilai r yang diperoleh akan selalu berada pada interval −1 ≤ r ≤ 1.

Ayo, kita lihat bagaimana kalian dapat menginterpretasikan nilai r yang diperoleh dari perhitungan dengan rumus di atas dan hubungannya dengan diagram pencarnya.

y y y

a) Korelasi positif sempurna

b) Korelasi negatif sempurna

c) Tidak berkorelasi linear

Gambar 3.10 Nilai r dan Hubungan Antara Dua Variabel

112 Matematika untuk SMA/SMK Kelas XI

y y

0 < r < 1

a) Korelasi positif kuat

(r positif mendekati 1)

b) Korelasi positif lemah

(r positif namun mendekati 0)

−1 < r < 0

c) Korelasi negatif kuat

(r negatif mendekati –1)

d) Korelasi negatif lemah

(r negatif namun mendekati 0)

Gambar 3.11 Hubungan Nilai r dan Penyebaran Data dari Garis Regresi

Terlihat bahwa jika nilai mutlak dari r semakin mendekati 0 (semakin kecil), maka semakin lemah atau tidak ada korelasi antara variabel x dan y, sedangkan jika nilai mutlak dari r semakin mendekati 1 (semakin besar), maka semakin kuat korelasi antara variabel x dan y.

Mengapa kita menggunakan konsep mutlak dari r ? Perlu diingat bahwa nilai r =

–0,97 memiliki korelasi yang lebih kuat dibanding nilai r = 0,62 karena tanda negatif di depan angka hanya menunjukkan arah tren data yang berkorelasi negatif.

Bab 3 | Statistika

113

Supaya suatu nilai r dapat mendeskripsikan lebih jelas tentang suatu korelasi antar dua variabel, maka terkadang nilai koefisien korelasi r sering dibuat dalam interval tertentu dengan deskripsi tingkat hubungan korelasi masing-masing. Perhatikan tabel berikut ini sebagai pedoman menentukan deskripsi tingkat hubungan korelasi.

Tabel 3.2 Tingkat Hubungan Koefisien Korelasi

Nilai r	Tingkat Korelasi
0	Tidak ada korelasi
–0,3 ≤ r < 0 dan 0 < r ≤ 0,3	Lemah
–0,7 ≤ r < –0,3 dan 0,3 < r ≤ 0,7	Sedang/Cukup
–1 < r < –0,7 dan 0,7 < r < 1	Kuat
–1 dan 1	Sempurna

Rentang nilai r dan deskripsi yang tertera pada tabel di atas merupakan salah satu model saja yang digunakan untuk mendeskripsikan tingkat hubungan korelasi antara dua variabel. Jika kalian mencari di berbagai buku atau sumber lainnya, maka kalian akan memperoleh model yang berbeda lagi karena adanya perbedaan rentang dan derajat tingkat hubungan korelasi.

Ayo kita gunakan rumus dan interpretasi nilai r di atas untuk menyelesaikan permasalahan pada eksplorasi berikut ini.

Persiapan: pita pengukur atau meteran

Leonardo da Vinci adalah seorang ilmuwan dan seniman yang menggabungkan keterampilan ini untuk menyusun instruksi untuk seniman lain tentang bagaimana proporsi tubuh manusia dalam lukisan dan patung. Tiga dari aturan Leonardo adalah:

Gambar 3.12 Leonardo da Vinci

Sumber: gettyimages.com/mikroman6

114 Matematika untuk SMA/SMK Kelas XI

• tinggi badan sama dengan panjang rentang lengan terentang;

• tinggi saat berlutut adalah tiga perempat dari tinggi berdiri;

• panjang tangan (dari pergelangan ke ujung jari tengah) adalah sepersembilan dari tinggi badan.

Berdasarkan Eksplorasi 3.5, kalian sudah menerapkan koefisien korelasi untuk analisis korelasi yang kalian temukan dalam suatu permasalahan nyata yaitu memastikan klaim atau pernyataan dari seseorang apakah berlaku secara umum atau tidak. Masih ingatkah kalian mengenai diskusi tentang pengaruh atau akibat dari kebakaran hutan pada awal bab ini? Jika kalian mempunyai data yang tepat, maka dengan ilmu statistika yang telah kalian pelajari hingga saat ini, kalian sudah dapat mengambil suatu kesimpulan yang baik dan tepat.

Bab 3 | Statistika

115

Kalian pasti juga sudah mendapat gambaran bagaimana hubungan antara suatu kejadian, data yang diperoleh, sketsa diagram pencar, nilai r dan interpretasinya. Ayo berpikir lebih jauh mengenai kemungkinan kejadian jika hanya diberikan kondisi nilai r.

1. Pasangkan kelima diagram pencar berikut ini dengan nilai korelasinya, dengan pilihan –0,95; –0,5; 0; 0,5; dan 0,95.

a. b. c.

5 6

4 5

3 3

2 2

1 1

d. e.

5 5

4 4

3 3

2 2

1 1

1 2 3 4 5

0 1 2 3 4 5 6

0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5

116 Matematika untuk SMA/SMK Kelas XI

2. Berikut ini adalah 8 kumpulan data buatan. Tentukan nilai r untuk setiap kumpulan data, jika memungkinkan tanpa perlu menghitung. Gambarlah sketsa diagram pencarnya untuk membantu penentuan nilai r ini.

a. b. c. d.

e. f. g. h.

3. Tabel berikut ini merupakan daftar nilai ujian tengah semester dan nilai ujian akhir semester pelajaran Matematika dari 7 siswa di kelas XI.

Nilai ujian tengah semester	79	95	81	66	87	94	59
Nilai ujian akhir semester	85	97	78	76	94	84	67

a. Menurut kalian apakah nilai ujian tengah semester dan nilai ujian akhir semester akan berkorelasi positif atau negatif?

b. Gambarlah diagram pencarnya.

c. Dengan melihat pada diagram pencarnya, bagaimana nilai koefisien korelasi yang tepat menurut kalian, apakah mendekati 0, 1 atau –1?

d. Hitunglah nilai r. Apakah nilai r yang diperoleh sesuai dengan prediksi kalian di bagian a) dan c)?

4. Seorang pemilik toko es krim lokal di Bekasi ingin menentukan apakah suhu udara berpengaruh terhadap bisnisnya. Tabel berikut ini berisi data suhu udara pada pukul 12.00 selama 10 hari berturut-turut tanpa hujan pada musim kemarau dan jumlah pembeli yang dapat membeli es krim di toko tersebut.

Suhu udara (^oC)	30	27,2	33,3	32,2	36,1	35,6	31,7	31,7	30,6	28,9
Pembeli (orang)	317	355	463	419	507	482	433	388	362	340

Bab 3 | Statistika

117

a. Dengan suhu udara sebagai variabel independen dan banyak pembeli sebagai variabel dependen, hitunglah nilai dari SSxy, SS_xx dan SS_yy .

b. Gambarlah diagram pencarnya.

c. Apakah diagram pencarnya memberikan gambaran hubungan positif atau negatif antara suhu udara dan banyak pembeli?

d. Tentukan persamaan garis regresinya dalam bentuk yˆ = a + bx.

e. Berikan interpretasi arti nilai a dan b pada perhitungan d).

f. Hitunglah nilai koefisien korelasi r.

g. Berikan interpretasi nilai r terhadap korelasi antara suhu udara dan banyak pembeli.

h. Berikan prediksi berapa banyak pembeli pada saat suhu udaranya 22,8^oC. Jelaskan apakah prediksi kalian sudah tepat berdasarkan gambar pada bagian b)?

3. Koefisien Determinasi

Pada bagian ini kita akan mempelajari nilai yang menyatakan seberapa tepat suatu garis regresi dari perspektif proporsi (persentase) dari variabel dependen yang diterangkan oleh variabel independen yang disebut sebagai koefisien determinasi. Simbol yang digunakan adalah r².

Kalian telah mempelajari mengenai koefisien korelasi yang mempunyai simbol r, sehingga akan sangat mudah untuk memperoleh nilai koefisien determinasi (r²) yaitu hanya dengan menguadratkan koefisien korelasi (r) atau kalian dapat menggunakan jumlah kuadrat variabel (SS_xy, SS_xx, dan SSyy ) seperti perhitungan pada koefisien korelasi (r) kemudian substitusikan ke dalam rumus koefisien determinasi (r²) di bawah ini.

SS_xy

r = p

SS_xxSS_yy

r² =

SS_xy²

SS_xxSS_yy

Ayo kita lihat rentang nilai yang pasti akan kalian dapatkan ketika menghitung koefisien determinasi (r²).

Karena nilai r mempunyai rentang nilai −1 ≤ r ≤ 1, maka r² mempunyai rentang nilai 0 ≤ r ≤ 1.

118 Matematika untuk SMA/SMK Kelas XI

Nilai koefisien determinasi (r²) yang mempunyai rentang nilai 0 ≤ r ≤ 1 sering diubah ke persentase dengan dikalikan dengan 100 untuk proses interpretasi persentase dari variabel dependen yang diterangkan oleh variabel independen sesuai

dengan definisinya. Sebagai contoh, pada konteks di awal bab mengenai hubungan waktu rata-rata yang didedikasikan per hari dengan banyak subscribers, nilai r² yang diperoleh dari data yang disajikan adalah 0,8988. Nilai r² pada model tersebut memberikan gambaran bahwa 89,88% dari banyak subscribers diterangkan oleh waktu rata-rata yang didedikasikan per hari, dengan sisanya sebesar 10,12% dari banyak subscribers diterangkan oleh variabel-variabel lainnya.

Ayo kita gunakan konsep di atas pada eksplorasi berikut ini.

Diagram pencar di bawah ini menunjukkan tingkat IQ seseorang terhadap lingkar kepalanya dalam cm dari sampel 20 orang. Rata-rata IQ adalah 101 dan rata-rata lingkar kepala adalah 56,125 cm. Nilai koefisien korelasinya adalah 0,138.

1. Jika kalian tidak mengetahui apa- apa mengenai hubungan antara IQ dan lingkar kepala, menurut

130

125

120

115

110

105

100

52 53 54 55 56 57 58 59 60

Lingkar Kepala (cm)

kalian berapa IQ seseorang yang lingkar kepalanya 54 cm?

Gambar 3.13 Hubungan Antara Lingkar Kepala dan IQ

2. Persamaan garis regresinya adalah IQ = 0,997 lingkar kepala + 45. Berapa perubahan IQ seseorang ketika lingkar kepala bertambah 1 cm?

Bab 3 | Statistika

119

3. Berapa IQ yang diprediksi persamaan garis ini untuk seseorang dengan lingkar kepala 54 cm? Seberapa besar keyakinan kalian terhadap prediksi ini?

4. Berapa persentase IQ yang diterangkan oleh lingkar kepala?

5. Berapa persentase IQ yang diterangkan oleh variabel-variabel lainnya? 6.

Menurut kalian, variabel-variabel lain apakah yang menerangkan tingkat IQ seseorang?

Berdasarkan Eksplorasi 3.6, kalian dapat melihat bahwa proses analisis korelasi tidak terlepas satu dengan yang lainnya dimulai dari diagram pencar, persamaan garis regresi, nilai koefisien korelasi, dan nilai koefisien determinasi. Semua hal tersebut digabungkan untuk memberikan prediksi yang tepat dan meyakinkan.

1. Nyoman mengumpulkan data mengenai kandungan lemak (gram) dan kalori pada tujuh jenis pizza pada tabel berikut. Dengan menggunakan data di bawah ini, Nyoman memperoleh nilai koefisien determinasi sebesar 0,8242. Apa interpretasi dari nilai tersebut dalam konteks kandungan lemak (gram) dan kalori?

120 Matematika untuk SMA/SMK Kelas XI

Lemak (gram)	Kalori
9,0	230
19,5	385
14,0	280
12,0	305
8,0	230
14,2	350
15,0	370

2. Tabel berikut ini memberikan informasi mengenai kandungan gula (gram) dan jumlah kalori dalam satu sajian dari 13 sampel suatu merek sereal.

Gula (gram)	4	15	12	11	8	6	7	2	7	14	20	3	13
Kalori	120	200	140	110	120	80	190	100	130	190	190	110	120

a. Hitunglah nilai koefisien determinasinya.

b. Berikan interpretasi dari nilai koefisien determinasi yang didapatkan pada bagian a).

Kali ini kita akan menggunakan aplikasi yang sama untuk membantu kita dalam menentukan nilai koefisien determinasi (r²). Sangat efisien, bukan? Yuk, perhatikan tahapan di bawah ini. Kita akan menggunakan data yang sama dengan latihan membuat diagram pencar, memunculkan garis regresi, dan persamaan garis regresi sebelumnya.

Bab 3 | Statistika

121

Untuk menampilkan nilai koefisien determinasi (r²), pada menu di sebelah kanan sama seperti saat menampilkan garis regresi dan persamaan garis regresinya, pada bagian bawahnya ada pilihan untuk menampilkan nilai r², pastikan centang “Display R-squared value on chart” maka kalian dapat melihat bahwa nilai r² sudah ditampilkan pada diagram.

Mudah, bukan? Jika sudah terbiasa maka tahapan ini hanya akan menggunakan waktu hitungan detik saja untuk menentukan nilai koefisien determinasi (r²). Namun, yang menjadi pertanyaannya adalah apakah ada menu sederhana untuk menampilkan nilai koefisien korelasi (r) seperti untuk menampilkan nilai koefisien determinasi (r²)? Sayangnya memang Microsoft Excel tidak menyediakan menu sederhana untuk ini. Akan tetapi, bukannya mudah ya untuk menemukan nilai r jika sudah diberikan nilai r²?

122 Matematika untuk SMA/SMK Kelas XI

Untuk kasus ini, mari kita gunakan nilai tukar rupiah terhadap dolar AS. Berikut ini adalah data inflasi bulanan di Indonesia dan nilai tukar rupiah terhadap dolar AS pada setiap akhir bulan pada tahun 2020. Kalian juga dapat menggunakan data tahun-tahun sebelumnya atau sesudahnya dari sumber yang tertera agar analisis kalian lebih tepat lagi. Gunakanlah teknologi seperti Microsoft Excel dan lainnya untuk mempermudah analisis kalian.

Tabel 3.3 Tingkat Inflasi dan Nilai Tukar Rupiah Terhadap Dolar AS pada Tahun 2020

Bulan	Tingkat inflasi	Nilai tukar rupiah terhadap dolar AS
Januari	2,68%	Rp13.662,00
Februari	2,98%	Rp14.234,00
Maret	2,96%	Rp16.367,00
April	2,67%	Rp15.157,00
Mei	2,19%	Rp14.733,00

Bab 3 | Statistika

123

Bulan	Tingkat inflasi	Nilai tukar rupiah terhadap dolar AS
Juni	1,96%	Rp14.302,00
Juli	1,54%	Rp14.653,00
Agustus	1,32%	Rp14.554,00
September	1,42%	Rp14.918,00
Oktober	1,44%	Rp14.690,00
November	1,59%	Rp14.128,00
Desember	1,68%	Rp14.105,00

Sumber: www.bi.go.id (2021)

www.statistik.kemendag.go.id (2021)

Ayo Berefleksi

Mari kita merefleksikan kembali hal-hal apa saja yang telah kita pelajari.

1. Apakah saya sudah bisa menghitung nilai koefisien korelasi?

2. Apakah saya sudah bisa menginterpretasikan nilai koefisien korelasi?

3. Apakah saya sudah bisa menghitung nilai koefisien determinasi?

4. Apakah saya sudah bisa menginterpretasikan nilai koefisien determinasi?

5. Apakah saya sudah bisa menjelaskan hubungan antara koefisien korelasi dan koefisien determinasi?

6. Apakah saya sudah bisa mengolah, menginterpretasikan, dan menyimpulkan hasil pengolahan suatu data secara benar dan efektif dengan menggunakan diagram pencar, arah dan bentuk tren data, persamaan garis regresi, koefisien korelasi, dan koefisien determinasi?

124 Matematika untuk SMA/SMK Kelas XI

Uji Kompetensi

1. Pada setiap diagram pencar di bawah ini:

110

Diagram 1

110

Diagram 2

100 100

90 90

80 80

30 40

50 60 70 80 90 100 110 x

30 40

50 60 70 80 90 100 110 x

110

100

Diagram 3

110

100

Diagram 4

30 40

50 60 70 80 90 100 110 x

30 40

50 60 70 80 90 100 110 x

Tentukan:

a. Apakah ada hubungan antara variabel x dan y?

b. Jika ya, apakah hubungannya linear atau kurva/non-linear?

c. Apakah hubungannya positif atau negatif?

2. Untuk setiap pasangan variabel berikut ini, berikan pendapat kalian apakah mereka mempunyai korelasi positif, korelasi negatif atau tidak berkorelasi (korelasi mendekati 0).

a. Bunga dan banyak pinjaman bank

b. Tinggi badan dan IQ

c. Tinggi badan dan ukuran sepatu

d. Banyak pohon dan tingkat polusi

Bab 3 | Statistika

125

3. Sebuah perusahaan manufaktur mobil ingin menyelidiki bagaimana harga salah satu model mobilnya terdepresiasi (penurunan) seiring bertambahnya usia mobil. Departemen riset di perusahaan mengambil sampel delapan mobil model ini dan mengumpulkan informasi berikut tentang usia (dalam tahun) dan harga (dalam jutaan rupiah) mobil-mobil ini.

Usia (tahun)	8	3	6	9	2	5	6	3
Harga (jutaan rupiah)	45	210	100	33	267	134	109	235

a. Gambarlah diagram pencar dari data di atas.

b. Apakah diagram pencarnya memberikan indikasi bahwa ada hubungan linear antara usia dan harga mobil?

c. Tentukan persamaan garis regresinya di mana harga sebagai variabel dependen dan usia sebagai variabel independen.

d. Interpretasikan nilai a dan b yang diperoleh pada bagian c).

e. Hitunglah prediksi harga mobil yang berusia 7 tahun.

f. Hitunglah prediksi harga mobil yang berusia 18 tahun.

g. Berikan komentar kalian mengenai hasil perhitungan bagian g).

4. Setiap diagram pencar di bawah ini dibuat pada sumbu x dan y yang sama. Pasangkan setiap diagram pencar berikut ini dengan nilai korelasinya, dengan pilihan –0,06; 0,25; 0,40; 0,52; 0,66; 0,74; 0,85; dan 0,90.

a. b. c. d.

e. f. g. h.

126 Matematika untuk SMA/SMK Kelas XI

5. Untuk setiap kumpulan pasangan data di bawah ini, hitunglah nilai koefisien korelasinya.

a. (–2, –1), (–1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 1)

b. (–2, 2), (0, 2), (0, 3), (0, 4), (2, 4)

6. Pada pelajaran Biologi, siswa bekerja sama dalam kelompok-kelompok untuk menghitung korelasi antara suhu udara dan berapa kecepatan bunyi mengerik seekor jangkrik. Setiap kelompok menggunakan jangkrik dan berada pada suhu yang sama, tetapi ada kelompok yang menggunakan pengukuran suhu dalam Fahrenheit (^oF) dan beberapa menggunakan Celcius (^oC). Ada kelompok yang mengukur kecepatan bunyi mengerik dalam berapa kali mengerik per detik dan ada yang berapa kali mengerik per menit. Ada kelompok yang menggunakan variabel x sebagai suhu udara dan variabel y sebagai berapa kali mengerik per satuan waktu sedangkan ada kelompok yang membaliknya.

a. Apakah semua siswa akan memperoleh gradien yang sama pada garis regresi linearnya? Jelaskan alasan kalian.

b. Apakah semua kelompok akan memperoleh nilai yang sama untuk koefisien korelasi? Jelaskan alasan kalian.

7. Gambarlah diagram pencar dan hitunglah nilai r dan r² dari setiap kumpulan data berikut ini.

x	–2	–1	0	1	2
y	–2	1	2	5	6

x	0	1	3	5	6
y	0	1	2	1	0

8. Deskripsikan gradien dari garis regresi dengan nilai r atau r² berikut ini. a. r = 0,7

b. r = –0,7

c. r = 0

d. r² = 0,64

9. Rizki ingin mengetahui hubungan tingkat kelulusan SMA dan tingkat kemiskinan. Data yang diperoleh oleh Rizki disajikan dalam bentuk diagram pencar berikut. Selain dari itu, Rizki juga memperoleh nilai koefisien determinasinya sebesar 0,558 dan menemukan persamaan garis regresi linear yang dinyatakan sebagai berikut.

Bab 3 | Statistika

127

Persentase Kemiskinan = 64 + 0,621 × Persentase Kelulusan SMA

76 78 80 82 84 86 88

Persentase Kelulusan SMA

90 92 94

a. Berikan interpretasi dari nilai koefisien determinasi yang didapatkan Rizki dalam konteks data di atas.

b. Tentukan nilai koefisien korelasi r.

c. Apakah dengan adanya hubungan linear di sini menyiratkan bahwa suatu negara yang menaikkan tingkat persentase kelulusannya akan menyebabkan tingkat persentase kemiskinannya turun? Jelaskan alasan kalian.

10. Berikut ini adalah data mengenai banyak karyawan pada suatu taman bermain dengan luas taman bermain tersebut. (Disarankan untuk menggunakan teknologi dalam membantu perhitungan ini)

Banyak karyawan (y)	Luas taman bermain (x) dalam m²
95	39.334
95	324
102	17.315
69	8.244
67	620.231
77	43.501
81	8.625
116	31.572
51	14.276

128 Matematika untuk SMA/SMK Kelas XI

Banyak karyawan (y)	Luas taman bermain (x) dalam m²
36	21.094
96	103.289
71	130.023
76	16.068
112	3.286
43	24.089
87	6.309
131	14.502
138	62.595
80	23.666
52	35.833

a. Gambarlah diagram pencarnya.

b. Tentukan persamaan garis regresinya.

c. Hitunglah nilai r².

d. Apakah garis regresi tersebut akan memberikan hasil yang akurat? Jelaskan alasanmu.

e. Hapuslah data pada variabel x dengan nilai yang terbesar dan hitung ulang persamaan garis regresinya.

f. Apakah hasil pada bagian e) sangat memengaruhi persamaan garis yang baru tersebut jika dibandingkan dengan yang sebelumnya? Jelaskan mengapa hal ini dapat terjadi.

Bab 3 | Statistika

129

Pengayaan

Pergilah ke supermarket atau minimarket terdekat dan carilah 30 jenis makanan yang ada tertera daftar nutrisi pada pembungkusnya. Untuk setiap makanan, periksalah kadar lemak (dalam gram) dan garam (dalam miligram) per sajian. Pastikan kalian memilih varietas makanan yang beragam untuk memperoleh variasi nilai antara kedua variabel ini. Sebagai contoh, jika kalian memilih 30 jenis mie instan, maka tidak akan memberikan proses analisis yang menarik.

1. Buatlah diagram pencar dari data yang terkumpul.

2. Apakah diagram pencar yang telah dibuat memberikan gambaran bahwa data tersebut dapat diwakili dengan suatu garis regresi?

3. Tentukan persamaan garis regresi untuk data kalian. Jika dapat dibuat suatu garis regresi, maka interpretasikan nilai dari gradien dan titik potong sumbu y garis tersebut. Jika tidak dapat dibuat suatu garis regresi, berikan alasan mengapa persamaan garis regresi ini akan memberikan interpretasi yang salah.

4. Hitunglah koefisien korelasi dari kedua variabel ini. Bagaimana hubungan antara kedua variabel tersebut dari nilai koefisien korelasi yang kalian dapatkan?

5. Hitunglah koefisien determinasi dari kedua variabel ini. Interpretasikan nilai koefisien determinasi yang kalian dapatkan.

130 Matematika untuk SMA/SMK Kelas XI

Pertanyaan Pemantik

Kata Kunci

Peta Konsep

A. Diagram Pencar atau Diagram Scatter

4.

x

x

B. Regresi Linear

1. Pengertian

Ketika dua variabel kuantitatif pada suatu diagram pencar sudah menunjukkan adanya korelasi, kita dapat menggambar suatu garis yang paling tepat untuk mewakili semua data yang ada.

2. Metode Kuadrat Terkecil

Persamaan garis regresi mana yang lebih tepat untuk memprediksi banyak tempat duduk terhadap biaya?

Jika diketahui bahwa persamaan garis regresinya adalah

SS_xx =

n

SS_xx

103

C. Analisis Korelasi

1. Pengertian

SS_yy =

n

SS_xxSS_yy

113

Persiapan: pita pengukur atau meteran

115

3. Koefisien Determinasi

SS_xxSS_yy

SS_xxSS_yy

Uji Kompetensi

Pengayaan

Alat Evaluasi

Popular Posts

Blog Archive

Cari Blog Ini

Arsip Blog

Laporkan Penyalahgunaan

Mengenai Saya

Pertanyaan Pemantik

Kata Kunci

Peta Konsep

A. Diagram Pencar atau Diagram Scatter

4.

x

x

B. Regresi Linear

1. Pengertian

Ketika dua variabel kuantitatif pada suatu diagram pencar sudah menunjukkan adanya korelasi, kita dapat menggambar suatu garis yang paling tepat untuk mewakili semua data yang ada.

2. Metode Kuadrat Terkecil

Persamaan garis regresi mana yang lebih tepat untuk memprediksi banyak tempat duduk terhadap biaya?

Jika diketahui bahwa persamaan garis regresinya adalah

SSxx =

n

SSxx

103

C. Analisis Korelasi

1. Pengertian

SSyy =

n

SSxxSSyy

113

Persiapan: pita pengukur atau meteran

115

3. Koefisien Determinasi

SSxxSSyy

SSxxSSyy

Uji Kompetensi

Pengayaan

Alat Evaluasi

Popular Posts

Blog Archive

Cari Blog Ini

Arsip Blog

Laporkan Penyalahgunaan

Mengenai Saya

SS_xx =

SS_xx

SS_yy =

SS_xxSS_yy

SS_xxSS_yy

SS_xxSS_yy